Inversa unei matrice este un concept fundamental in algebra liniara. In continuare, vom defini inversa unei matrice, proprietatile si metode de calculare ale inversei unei matrice.
Cuprins
Definitie - inversa unei matrice
Fie $$$A$$$ matricea patratica de ordinul $$$n$$$ si $$$I_n$$$ matricea identitate de ordinul $$$n$$$.
Inversa matricei $$$A$$$ se noteaza cu $$$A^{-1}$$$ si este matricea pentru care rezultatul inmultirii $$$A * A^{-1}$$$ este matricea identitate $$$I_n$$$:
Nu toate matricele sunt inversabile. O matrice este inversabila daca si numai daca determinatul matricei este diferit de 0.
Daca o matrice nu este inversabila, aceasta matrice se numeste matrice singulara.
Proprietati
Inversa unei matrice are urmatoarele proprietati importante:
1. Inversa lui $$$A^{-1}$$$ este $$$A$$$:
$$${(A^{-1})}^{-1} = A$$$
2. Inversa produsului a doua matrice este produsul inverselor in ordine inversa:
$$${(AB)}^{-1}=B^{-1}*A^{-1}$$$
3. Matricea transpusa a inversei unei matrice este inversa transpusei matricei:
$$${(A^T)}^{-1}={(A^{-1})}^T$$$
Metode de calcul
Exista multiple metoda pentru calcularea / determinarea inversei unei matrice. In continuare, vom parcurge urmatoarele metode:
Inversa unei matrice 2x2
Fie matricea patratica $$$A$$$:
$$$A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$$$
Calculam determinantul matricii $$$A$$$:
$$$det(A) = ad – bc$$$
Inversa matricii $$$A$$$ este:
$$$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} * \begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$$$
Metoda complementilor algebrici (cofactori)
Pasul 1: Se calculeaza determinatul matricei $$$A$$$ si se teremina daca matricea este inversabila sau nu.
Pasul 2: Se construieste transpusa matricii $$$A$$$, schimband liniile cu coloanele.
Pasul 3: Se construieste matricea adjuncta $$$A^*$$$ astfel – elementul $$$(i, j)$$$ din matricea $$$A^*$$$ este $$${{(-1)}^{(i+j)}}$$$ inmultit cu determinantul submatricei obtinute prin excluderea liniei $$$i$$$ si a coloanei $$$j$$$ din matricea $$$A$$$ transpusa.
Pasul 4: Se calculeaza transpusa matricei $$$C$$$.
Pasul 5: Se determina $$$A^{-1}$$$ astfel:
$$$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}*A^*$$$